Посмотрим, кто сейчас в сети... :)

Напишите код, позволяющий проверить залогинен ли пользователь в ВК, твиттер, гугл сервисы. Не используя сдк/апи этих сервисов.

Варианты:
А) Создаем отдельный сервис к которому подключаем все АПИ данных сервисов и реализуем необходимый функционал к которому подключаемся и выясняем данные о пользователе. В этом случае, мы как бы не используем АПИ этих сервисов, так как работаем всего с одним сервисом созданным нами. Что не противоречит поставленной задачи, ведь по факту, напрямую сервисами мы не пользуемся.
Б) Авторизация пользователя через социальную сеть на сайте. В этом случае, он авторизуется на сайте, но мы не знаем, залогинен ли он еще где-нибудь сейчас, кроме той социалки через которую авторизовался. Метод не универсальный и не подходит.
В) Логинемся в каждую социальную сеть и ищем или создаем какую-нибудь картинку, которая становится доступна только после авторизации, после чего не хитрым способом узнаем залогинен ли пользователь или нет. С Вконтакте такое не прокатывает, у него все в открытом доступе, привязаться не к чему.

Схема для пункта В:

<?
// FACEBOOK
<script>
function 
logged() {
    
alert('logged');
}
function 
notlogged() {
    
alert('not logged');
}
</script>
<script src="http://www.facebook.com/ajax/composer/attachment/question/question.php" 
onload="logged()" onerror="notlogged()">

// TWITTER
<script>
function logged() {
    alert('logged');
}
function notlogged() {
    alert('not logged');
}
</script>

<script type="text/javascript" 
src="https://twitter.com/account/use_phx?setting=false&amp;format=text" 
onload="logged()" 
onerror="notlogged()" 
async="async"></script>
// Или
<img
onload="logged()"
onerror="notlogged()"
src="https://twitter.com/login?redirect_after_login=%2Fimages%2Fspinner.gif"/>

// GOOGLE
<script>
function logged() {
    alert('logged');
}
function notlogged() {
    alert('not logged');
}
</script>

<img onload="logged()"
onerror="notlogged()"
src="https://mail.google.com/mail/photos/img/photos/
public/AIbEiAIAAABDCKa_hYq24u2WUyILdmNhcmRfcGhvdG8qKDI1ODFkOGViM2I5Zj
UwZmZlYjE3MzQ2YmQyMjAzMjFlZTU3NjEzOTYwAZwSCm_MMUDjh599IgoA2muEmEZD"/>
// Или
<img onload="logged()"
onerror="notlogged()"
src="https://accounts.google.com/CheckCookie?continue=https://www.google.com/intl/en/images/logos/accounts_logo.png"/>

// GOOGLE PLUS
<script>
function logged() {
    alert('logged');
}
function notlogged() {
    alert('not logged');
}
</script>

<img
onload="logged()"
onerror="notlogged()"
src="https://plus.google.com/up/?continue=https://www.google.com/intl/en/images/logos/accounts_logo.png&type=st&gpsrc=ogpy0"/>
?>